Hello Sobat SinarNarasi, apakah kamu sedang belajar tentang induksi matematika di kelas 11? Jika iya, kamu pasti butuh contoh soal untuk melatih kemampuanmu. Berikut ini adalah beberapa contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya yang bisa kamu gunakan untuk berlatih.
Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11
Soal pertama:
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n^2.
Soal kedua:
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.
Soal ketiga:
Diketahui sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama a dan selisihnya d. Buktikan dengan induksi matematika bahwa suku ke-n dari deret aritmatika tersebut adalah a + (n-1)d.
Soal keempat:
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 2^n > n^2.
Jawaban dari Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11
Nah, setelah melihat contoh soal di atas, mungkin kamu bertanya-tanya bagaimana caranya menyelesaikan soal-soal tersebut. Berikut ini adalah jawaban dari contoh soal induksi matematika kelas 11:
Jawaban untuk soal pertama:
Langkah induksi:- Langkah basis: Untuk n=1, 1=1^2, benar.- Langkah induksi: Anggap pernyataan benar untuk n=k, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k^2. Maka untuk n=k+1, kita punya:1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k+1) – 1) = k^2 + (2(k+1) – 1)= k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2.Jadi pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban untuk soal kedua:
Langkah induksi:- Langkah basis: Untuk n=1, 1^2 = 1(1+1)(2*1+1)/6, benar.- Langkah induksi: Anggap pernyataan benar untuk n=k, yaitu 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6. Maka untuk n=k+1, kita punya:1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2= (k+1)(k/2 + (2k^2+3k+2)/6)= (k+1)(k+2)(2k+3)/6.Jadi pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban untuk soal ketiga:
Langkah induksi:- Langkah basis: Untuk n=1, suku pertama a adalah a dan suku ke-1 adalah a, jadi benar.- Langkah induksi: Anggap pernyataan benar untuk n=k, yaitu suku ke-n dari deret aritmatika adalah a + (n-1)d. Maka untuk n=k+1, suku ke-(k+1) adalah a + kd, yang mana k+1 = (n-1)+1.Jadi pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban untuk soal keempat:
Langkah induksi:- Langkah basis: Untuk n=1, 2^1 > 1^2, benar.- Langkah induksi: Anggap pernyataan benar untuk n=k, yaitu 2^k > k^2. Maka untuk n=k+1, kita punya:2^(k+1) = 2 * 2^k > 2k^2 = k^2 + k^2 >= k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2.Jadi pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
Kesimpulan
Demikianlah contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya. Tentunya masih ada banyak contoh soal induksi matematika lainnya yang bisa kamu cari dan pelajari. Semoga artikel ini bermanfaat bagi kamu yang sedang belajar matematika, terutama induksi matematika. Selamat belajar!