Hello Sobat SinarNarasi, kali ini kita akan membahas contoh soal limit fungsi trigonometri. Limit adalah konsep matematika yang membahas tentang nilai yang dihampiri oleh suatu fungsi ketika variabel independennya mendekati suatu nilai tertentu.
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang melibatkan trigonometri, seperti sin, cos, dan tan. Nah, mari kita lihat beberapa contoh soal limit fungsi trigonometri.
Contoh Soal 1
Hitunglah limit dari fungsi f(x) = (sin 2x) / x ketika x mendekati 0.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan aturan L’Hopital. Dengan aturan ini, kita dapat mengambil turunan dari fungsi atas dan fungsi bawah secara terpisah, kemudian menghitung limit dari turunan tersebut. Berikut ini langkah-langkahnya:
– Turunan fungsi atas: f'(x) = 2cos 2x
– Turunan fungsi bawah: f'(x) = 1
Kemudian, kita hitung limit dari turunan tersebut ketika x mendekati 0:
– Limit dari turunan fungsi atas: lim cos 2x = 1 (karena cos 0 = 1)
– Limit dari turunan fungsi bawah: lim 1 = 1
Jadi, limit dari fungsi f(x) = (sin 2x) / x ketika x mendekati 0 adalah:
lim (sin 2x / x) = lim f(x) = lim f'(x) = 1
Contoh Soal 2
Hitunglah limit dari fungsi f(x) = (1 – cos 2x) / x ketika x mendekati 0.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita juga dapat menggunakan aturan L’Hopital. Berikut ini langkah-langkahnya:
– Turunan fungsi atas: f'(x) = 2sin 2x
– Turunan fungsi bawah: f'(x) = 1
Kemudian, kita hitung limit dari turunan tersebut ketika x mendekati 0:
– Limit dari turunan fungsi atas: lim sin 2x = 0 (karena sin 0 = 0)
– Limit dari turunan fungsi bawah: lim 1 = 1
Jadi, limit dari fungsi f(x) = (1 – cos 2x) / x ketika x mendekati 0 adalah:
lim ((1 – cos 2x) / x) = lim f(x) = lim f'(x) = 0
Contoh Soal 3
Hitunglah limit dari fungsi f(x) = (sin 3x) / (2x) ketika x mendekati 0.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan fungsi terlebih dahulu. Kita dapat mengubah sin 3x menjadi sin 2x dengan menggunakan rumus trigonometri. Berikut ini langkah-langkahnya:
– Fungsi awal: f(x) = (sin 3x) / (2x)
– Mengubah sin 3x menjadi sin 2x: f(x) = (2sin x cos 2x) / (2x)
– Menyederhanakan: f(x) = sin x / x * cos 2x
Dengan demikian, kita dapat menghitung limit dari fungsi tersebut dengan mudah:
lim ((sin 3x) / (2x)) = lim (sin x / x) * lim cos 2x = 1 * cos 0 = 1
Contoh Soal 4
Hitunglah limit dari fungsi f(x) = (tan x – sin x) / (x^3) ketika x mendekati 0.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memfaktorkan x^3 dari penyebut terlebih dahulu. Berikut ini langkah-langkahnya:
– Fungsi awal: f(x) = (tan x – sin x) / (x^3)
– Memfaktorkan x^3: f(x) = (tan x / x – sin x / x) / x^2
Kemudian, kita hitung limit dari turunan tersebut ketika x mendekati 0:
– Limit dari turunan fungsi atas: lim (tan x / x) = 1 (dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan L’Hopital)
– Limit dari turunan fungsi bawah: lim (sin x / x) = 1 (karena sin x / x mendekati 1 ketika x mendekati 0)
– Limit dari penyebut: lim ((tan x / x) – (sin x / x)) = 0
Dengan demikian, limit dari fungsi f(x) = (tan x – sin x) / (x^3) ketika x mendekati 0 adalah:
lim ((tan x – sin x) / (x^3)) = lim ((tan x / x) – (sin x / x)) / x^2 = 0
Contoh Soal 5
Hitunglah limit dari fungsi f(x) = (sin 2x) / (x – sin x) ketika x mendekati 0.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memfaktorkan penyebut terlebih dahulu. Berikut ini langkah-langkahnya:
– Fungsi awal: f(x) = (sin 2x) / (x – sin x)
– Memfaktorkan penyebut: f(x) = (sin 2x) / (x – sin x) * (x + sin x) / (x + sin x)
– Menyederhanakan: f(x) = sin 2x / (x^2 – sin^2 x)
– Menggunakan rumus trigonometri: f(x) = sin 2x / (x + sin x) * (x – sin x)
Kemudian, kita hitung limit dari turunan tersebut ketika x mendekati 0:
– Limit dari turunan fungsi atas: lim sin 2x / (x + sin x) = 2 / 2 = 1 (karena sin 0 = 0 dan cos 0 = 1)
– Limit dari turunan fungsi bawah: lim (x – sin x) = 0 (karena x – sin x mendekati 0 ketika x mendekati 0)
Dengan demikian, limit dari fungsi f(x) = (sin 2x) / (x – sin x) ketika x mendekati 0 adalah:
lim ((sin 2x) / (x – sin x)) = lim (sin 2x / (x + sin x) * (x – sin x)) = lim sin 2x / (x + sin x) * lim (x – sin x) = 1 * 0 = 0
Kesimpulan
Demikianlah contoh soal limit fungsi trigonometri beserta cara penyelesaiannya. Dengan memahami konsep limit dan aturan L’Hopital, kita dapat menyelesaikan berbagai macam soal limit dengan mudah.
Namun, perlu diingat bahwa memilih metode penyelesaian yang tepat sangat penting agar jawaban yang diperoleh akurat. Semoga artikel ini dapat membantu Sobat SinarNarasi dalam memahami limit fungsi trigonometri. Terima kasih telah membaca.