Pengertian Program Linear
Hello Sobat SinarNarasi! Program Linear adalah metode matematika untuk menyelesaikan persoalan yang melibatkan pemilihan keputusan terbaik dari sejumlah alternatif yang terbatas.
Dalam program linear, setiap variabel terikat pada satu atau lebih persamaan yang memuat fungsi linier. Hasil akhir dari program linear adalah mencari nilai variabel yang maksimum atau minimum.
Contoh Soal Program Linear Sederhana
Mari kita bahas contoh soal program linear sederhana. Sebuah toko roti ingin memaksimalkan keuntungan dengan menjual kue dan roti. Kue yang dijual seharga Rp 10.000/biji dan roti seharga Rp 5.000/biji. Toko roti mampu memproduksi maksimum 500 kue dan 1000 roti setiap harinya. Biaya produksi kue sebesar Rp 5.000/biji dan biaya produksi roti sebesar Rp 3.000/biji. Berapa jumlah kue dan roti yang harus dijual agar toko roti mendapatkan keuntungan maksimum?
Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa membuat persamaan sebagai berikut:
Keuntungan = (jumlah kue x harga kue) + (jumlah roti x harga roti) – (jumlah kue x biaya produksi kue) – (jumlah roti x biaya produksi roti)
Keuntungan = 10.000x + 5.000y – 5.000x – 3.000y
Keuntungan = 5.000x + 2.000y
Dengan x adalah jumlah kue dan y adalah jumlah roti.
Kita juga perlu membuat persamaan batasan. Karena toko roti hanya mampu memproduksi maksimum 500 kue dan 1000 roti setiap harinya, maka kita bisa membuat persamaan batasan sebagai berikut:
x ≤ 500
y ≤ 1000
Karena kita ingin mencari keuntungan maksimum, maka kita bisa menggunakan rumus:
Max Z = 5.000x + 2.000y
Dengan batasan:
x ≤ 500
y ≤ 1000
x, y ≥ 0
Setelah dihitung dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh hasil x = 250 dan y = 1000. Dengan demikian, toko roti harus menjual 250 kue dan 1000 roti setiap harinya agar mendapatkan keuntungan maksimum sebesar Rp 7.000.000.
Contoh Soal Program Linear Dalam Kehidupan Sehari-hari
Program Linear tidak hanya digunakan dalam dunia bisnis, tetapi juga dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, saat memilih menu makan siang di restoran cepat saji. Restoran tersebut menawarkan dua jenis menu yaitu burger dan ayam goreng. Harga burger sebesar Rp 15.000/biji dan ayam goreng seharga Rp 12.000/biji. Anda hanya memiliki uang sebesar Rp 40.000. Berapa jumlah burger dan ayam goreng yang harus Anda beli?
Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa membuat persamaan sebagai berikut:
Harga total = (jumlah burger x harga burger) + (jumlah ayam goreng x harga ayam goreng)
Harga total = 15.000x + 12.000y
Dengan x adalah jumlah burger dan y adalah jumlah ayam goreng.
Karena Anda hanya memiliki uang sebesar Rp 40.000, maka kita bisa membuat persamaan batasan sebagai berikut:
15.000x + 12.000y ≤ 40.000
Karena kita tidak dapat membeli sebagian menu, maka x dan y harus merupakan bilangan bulat positif. Dengan demikian, kita dapat menggunakan metode trial and error untuk mencari solusi. Misalnya, kita mencoba membeli 2 burger dan 2 ayam goreng. Maka harga total yang harus dibayar adalah 15.000 x 2 + 12.000 x 2 = 54.000. Karena harga total melebihi uang yang Anda miliki, maka solusi ini tidak dapat diterima.
Selanjutnya, kita mencoba membeli 3 burger dan 1 ayam goreng. Maka harga total yang harus dibayar adalah 15.000 x 3 + 12.000 x 1 = 57.000. Karena harga total melebihi uang yang Anda miliki, maka solusi ini juga tidak dapat diterima.
Selanjutnya, kita mencoba membeli 2 burger dan 1 ayam goreng. Maka harga total yang harus dibayar adalah 15.000 x 2 + 12.000 x 1 = 42.000. Karena harga total tidak melebihi uang yang Anda miliki, maka solusi ini dapat diterima. Dengan demikian, Anda harus membeli 2 burger dan 1 ayam goreng.
Contoh Soal Program Linear Dalam Produksi
Selain dalam dunia bisnis, Program Linear juga dapat diterapkan dalam produksi. Misalnya, sebuah pabrik ingin memproduksi dua jenis produk yaitu A dan B. Biaya produksi per unit A sebesar Rp 900 dan biaya produksi per unit B sebesar Rp 1200.
Pabrik dapat memproduksi maksimum 200 unit A dan 150 unit B setiap harinya. Produk A dapat dijual seharga Rp 1500/unit dan produk B seharga Rp 2000/unit. Berapa jumlah produk A dan B yang harus diproduksi agar pabrik mendapatkan keuntungan maksimum?
Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa membuat persamaan sebagai berikut:
Keuntungan = (jumlah produk A x harga jual A) + (jumlah produk B x harga jual B) – (jumlah produk A x biaya produksi A) – (jumlah produk B x biaya produksi B)
Keuntungan = 1500x + 2000y – 900x – 1200y
Keuntungan = 600x + 800y
Dengan x adalah jumlah produk A dan y adalah jumlah produk B.
Kita juga perlu membuat persamaan batasan. Karena pabrik hanya dapat memproduksi maksimum 200 unit A dan 150 unit B setiap harinya, maka kita bisa membuat persamaan batasan sebagai berikut:
x ≤ 200
y ≤ 150
Karena kita ingin mencari keuntungan maksimum, maka kita bisa menggunakan rumus:
Max Z = 600x + 800y
Dengan batasan:
x ≤ 200
y ≤ 150
x, y ≥ 0
Setelah dihitung dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh hasil x = 150 dan y = 150. Dengan demikian, pabrik harus memproduksi 150 unit produk A dan 150 unit produk B setiap harinya agar mendapatkan keuntungan maksimum sebesar Rp 375.000.
Contoh Soal Program Linear Dalam Penjadwalan Produksi
Program Linear juga dapat digunakan dalam penjadwalan produksi. Misalnya, sebuah pabrik ingin memproduksi tiga jenis produk yaitu A, B, dan C. Pabrik hanya dapat memproduksi maksimum 800 unit produk A, 600 unit produk B, dan 500 unit produk C setiap minggunya. Biaya produksi per unit A sebesar Rp 1000, biaya produksi per unit B sebesar Rp 1200, dan biaya produksi per unit C sebesar Rp 1500. Produk A dapat dijual seharga Rp 1500/unit, produk B seharga Rp 2000/unit, dan produk C seharga Rp 2500/unit. Berapa jumlah produk A, B, dan C yang harus diproduksi agar pabrik mendapatkan keuntungan maksimum?
Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa membuat persamaan sebagai berikut:
Keuntungan = (jumlah produk A x harga jual A) + (jumlah produk B x harga jual B) + (jumlah produk C x harga jual C) – (jumlah produk A x biaya produksi A) – (jumlah produk B x biaya produksi B) – (jumlah produk C x biaya produksi C)
Keuntungan = 1500x + 2000y + 2500z – 1000x – 1200y – 1500z
Keuntungan = 500x + 800y + 1000z
Dengan x adalah jumlah produk A, y adalah jumlah produk B, dan z adalah jumlah produk C.
Kita juga perlu membuat persamaan batasan. Karena pabrik hanya dapat memproduksi maksimum 800 unit produk A, 600 unit produk B, dan 500 unit produk C setiap minggunya, maka kita bisa membuat persamaan batasan sebagai berikut:
x ≤ 800
y ≤ 600
z ≤ 500
Karena kita ingin mencari keuntungan maksimum, maka kita bisa menggunakan rumus:
Max Z = 500x + 800y + 1000z
Dengan batasan:
x ≤ 800
y ≤ 600
z ≤ 500
x, y, z ≥ 0
Setelah dihitung dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh hasil x = 800, y = 600, dan z = 0. Dengan demikian, pabrik harus memproduksi 800 unit produk A dan 600 unit produk B setiap minggunya agar mendapatkan keuntungan maksimum sebesar Rp 820.000.
Kesimpulan
Program Linear adalah metode matematika untuk menyelesaikan persoalan yang melibatkan pemilihan keputusan terbaik dari sejumlah alternatif yang terbatas. Program Linear digunakan dalam berbagai bidang seperti bisnis, produksi, dan penjadwalan produksi. Dalam program linear, setiap variabel terikat pada satu atau lebih persamaan yang memuat fungsi linier.
Hasil akhir dari program linear adalah mencari nilai variabel yang maksimum atau minimum. Dalam menyelesaikan soal program linear, kita perlu membuat persamaan batasan dan menggunakan metode simpleks. Dengan program linear, kita dapat menentukan keputusan terbaik dari sejumlah alternatif yang terbatas sehingga dapat meningkatkan kemampuan matematika kita secara santai.